DAVID HILBERT
Vida
(Wehlan, actual Alemania, 1862 - Gotinga, id., 1943)
Matemático alemán. Su padre era juez, y fue destinado al poco de su
nacimiento a Königsberg, donde David recibió su educación y en cuya
universidad inició los estudios de matemáticas. Estudió también en las
universidades de Heidelberg y de Berlín, asistiendo en esta última a los
cursos de Weierstrass, Kummer, Helmholtz y Kronecker.
A finales de 1884 se doctoró en Königsberg, poco
antes de que hiciera lo propio su amigo Hermann Minkowski. La tesis de
Hilbert trataba de los invariantes algebraicos, un tema que le propuso
su joven profesor F. Lindemann, quien dos años antes había demostrado
que «pi» es un número trascendente.
Viajó después a Leipzig, donde asistió a las clases de Felix Klein, y a París, donde conoció a Henri Poincaré, Camille Jordan y Charles Hermite. De regreso a Königsberg, en 1886 inició allí su carrera académica como privatdozent;
siete años más tarde, cuando Lindemann marchó a Berlín, Hilbert accedió
al cargo de profesor ordinario por recomendación de Klein, por entonces
profesor en Gotinga; a esta universidad se incorporó también Hilbert en
1895, de nuevo por intervención de Klein, y en ella desarrolló el resto
de su carrera profesional.
En Gotinga centró su atención en la geometría,
tratando de plasmar en ese nuevo interés una idea que alimentaba desde
mucho antes: lo importante no es la naturaleza de los objetos
geométricos, sino la de sus interrelaciones. En su obra de 1899,
dedicada a proporcionar a la geometría euclidiana una fundamentación
estrictamente axiomática y que ha ejercido una gran influencia sobre el
desarrollo de la matemática en el siglo XX, realizó el primer esfuerzo
sistemático y global para hacer extensivo a la geometría el carácter
puramente formal que ya habían adquirido la aritmética y el análisis
matemático.
A partir del año 1904, empezó a desarrollar un programa
para dotar de una base axiomática a la lógica, la aritmética y la teoría
de conjuntos, con el objetivo último de axiomatizar toda la matemática.
Aunque su propósito de demostrar la consistencia de la aritmética había
de verse frustrado por los resultados posteriores (1931) obtenidos por Kurt Gödel,
el programa de formalización de Hilbert contribuyó al desarrollo de la
llamada metamatemática, como método para establecer la consistencia de
cualquier sistema formal.
Obras
Trabajó en la teoría de números y el cálculo de variaciones, aunque sus más importantes contribuciones fueron en el terreno de la geometría. El primer trabajo de Hilbert fue, en 1888, sobre invariantes algebraicos. Contribuyó a la teoría de invariantes y a la de las ecuaciones integrales. En 1897 publicó Zahlbericht, que es una síntesis de los trabajos de Kummer, Kronecker y Dedekind, con ideas propias de Hilbert, sobre teoría de números. En el año 1899 con su obra Fundamentos de la geometría, reemplazó eficazmente la geometría euclídea
con un conjunto de 21 axiomas mucho más completos y abstractos, que
tratan sobre puntos, líneas y planos y seis tipos de relaciones entre
ellos. Planteó 23 problemas matemáticos para su investigación. La mayor
parte de ellos ya han sido resueltos.
Los 23 problemas
Hilbert propuso una lista muy influyente de 23 problemas sin resolver en el Congreso Internacional de Matemáticos de París
en 1900. Se reconoce de forma general que esta es la recopilación de
problemas abiertos más exitosa y de profunda consideración producida
nunca por un único matemático.
2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética. ¿Son compatibles los axiomas de la aritmética?
3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.
4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?
5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.
6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?
7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, 2v2, etc.
8. El problema de la distribución de los números primos.
9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.
10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.
11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.
12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.
13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.
14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.
15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.
16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.
17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.
18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.
19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?
20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet.
21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.
22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.
23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.
Teorema de Fermat-Wiles
Andrew Wiles
Wiles pudo demostrar el Último teorema de Fermat a partir de la conexión, esbozada por Frey, y demostrada por Ken Ribet en 1985, de que una demostración de la llamada Conjetura de Taniyama-Shimura conduciría directamente a una demostración del último teorema de Fermat. En resumen, la conjetura de Taniyama-Shimura establece que cada curva elíptica puede asociarse unívocamente con un objeto matemático denominado forma modular. Si el último teorema de Fermat fuese falso, entonces existiría una curva elíptica tal que no puede asociarse con ninguna forma modular, y por lo tanto la conjetura de Taniyama-Shimura sería falsa. Por lo tanto, Taniyama-Shimura demuestra el último teorema de Fermat.
ENLACES:
http://es.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermat
http://www.um.es/docencia/plucas/miscelanea/hilbert.pdf
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/h/hilbert.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert#Los_23_problemas
