FRAY LUCA PACIOLI

 Vida

 Nació en Sansepolcro, 1445 y murió en Roma, 1517, fue un fraile franciscano y matemático italiano, precursor del cálculo de probabilidades.

 De humilde familia, marchó de joven a Venecia como maestro, entró después en la Orden franciscana y, completada su formación teológica y filosófica, se dedicó a enseñar matemáticas en diversas ciudades italianas (Perusa, Venecia, Zara, Florencia, Roma, Milán, Pisa y Bolonia). Amigo de Leonardo da Vinci, fue una de las figuras más características de su época; no quiso escribir ya en latín, como los matemáticos anteriores, sino en lengua vulgar, que resultó, sin embargo, bastante bárbara y llena de vocablos latinos, griegos y dialectales. Aun sin hacer uso de un simbolismo algebraico análogo al actual, Luca Pacioli abrió su camino con interesantes abreviaturas de lenguaje. Sus escritos ofrecen una óptima preparación para las nuevas investigaciones de álgebra del siglo XVI. No se le puede considerar un creador, pero lo que extrajo de los escritos inéditos de Leonardo Fibonacci significó sin duda una verdadera revolución.

Obras

 Su principal obra, la Summa de arithmetica, proportioni et proportionalita, se imprime en Venecia el año 1494 y puede considerarse como la primera enciclopedia de matemática pura y aplicada.

 

 Pacioli publicó una traducción al latín de los Elementos de Euclides en 1509. Otra de sus obras que no llegó a publicar De viribus quantitatis, es una larga colección de problemas recreativos aritméticos y geométricos, proverbios, juegos y adivinanzas de todo tipo. Escribió también una traducción al italiano de los Elementos de Euclides, un librito de ajedrez, y varios textos de aritmética práctica y comercial.

 

  La Summa de Pacioli

 

 

La Summa de Pacioli es una recopilación de la matemática de su tiempo, operaciones aritméticas con la nueva numeración indo-arábiga, suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas. Aplicaciones sencillas. Geometría de Euclides y aplicaciones prácticas. Resolución de problemas que llevan a ecuaciones algebraicas de primero y segundo grado. La resolución de la cúbica, que el mismo Pacioli considera quizás un problema insoluble, fue un éxito de los italianos que le siguieron después, Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Bombelli, etc.

 

 

 

 

 

Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Abu Yāffar)

VIDA

Fue un matemático, astrónomo y geógrafo persa musulmán, que vivió aproximadamente entre 780 y 850.

Poco se conoce de su biografía, a tal punto que existen discusiones no saldadas sobre su lugar de nacimiento. Algunos sostienen que nació en Bagdad. Otros, siguiendo el artículo de Gerald Toomer sostienen que nació en la ciudad corasmia de Jiva, en el actual Uzbekistán. Rashed halla que se trata de un error de interpretación de Toomer, debido a un error de transcripción en una copia del manuscrito de al-Tabari. No será este el último desacuerdo entre historiadores que encontraremos en las descripciones de la vida y las obras de al-Juarismi. Estudió y trabajó en Bagdad en la primera mitad del siglo IX, en la corte del califa al-Mamun. Para muchos, fue el más grande de los matemáticos de su época.


Debemos a su nombre y al de su obra principal, "Hisāb al-ŷabr wa'l muqābala", nuestras palabras álgebra, guarismo y algoritmo. De hecho, es considerado como el padre del álgebra y como el introductor de nuestro sistema de numeración denominado arábigo.

Hacia 815 al-Mamun, séptimo califa Abásida, hijo de Harún al-Rashid, fundó en su capital, Bagdad, la Casa de la sabiduría (Bayt al-Hikma), una institución de investigación y traducción que algunos han comparado con la Biblioteca de Alejandría. En ella se tradujeron al árabe obras científicas y filosóficas griegas e indias. Contaba también con observatorios astronómicos. En este ambiente científico y multicultural se educó y trabajó al-Juarismi junto con otros científicos como los hermanos Banu Musa, al-Kindi y el famoso traductor Hunayn ibn Ishaq. Dos de sus obras, sus tratados de álgebra y astronomía, están dedicadas al propio califa.

OBRAS 

Álgebra

En su tratado de álgebra Hisāb al-ŷabr wa'l muqābal, obra eminentemente didáctica, se pretende enseñar un álgebra aplicada a la resolución de problemas de la vida cotidiana del imperio islámico de entonces.

Aritmética

De su aritmética, posiblemente denominada originalmente Kitab al-Ŷamaa wa al-Tafriq bi Hisab al-Hind, "libro de la suma y de la resta, según el cálculo indio", sólo conservamos una versión latina del siglo XII, Algoritmi de numero Indorum.

Astronomía

De su tratado sobre astronomía, Sindhind zij, también se han perdido las dos versiones que escribió en árabe. Esta obra se basa en trabajos astronómicos indios "a diferencia de manuales islámicos de astronomía posteriores, que utilizaron los modelos planetarios griegos del 'Almagesto' de Ptolomeo".

Geografía

En Geografía, con una obra denominada Kitab Surat-al-Ard, revisó y corrigió a Ptolomeo en lo referente a África y al Oriente. Lista latitudes y longitudes de 2402 sitios, y emplaza ciudades, montañas, mares, islas, regiones geográficas y ríos, como base para un mapa del mundo entonces conocido. Incluye mapas que, en conjunto, son más precisos que los de Ptolomeo.

Álgebra

Luego de presentar los números naturales, al-Juarismi aborda la cuestión principal en la primera parte del libro: la solución de ecuaciones. Sus ecuaciones son lineales o cuadráticas y están compuestas de unidades, raíces y cuadrados.

Primero reduce una ecuación a alguna de seis formas normales:
-Cuadrados iguales a radicales.
-Cuadrados iguales a números.
-Raíces iguales a números.
-Cuadrados y raíces iguales a números, por ejemplo
-Cuadrados y números iguales a raíces, por ejemplo
-Raíces y números iguales a cuadrados, por ejemplo 

 La reducción se lleva a cabo utilizando las operaciones de al-ŷabr  y al-muqabala . Luego, al-Juarismi muestra como resolver los seis tipos de ecuaciones, usando métodos de solución algebraicos y geométricos.
 Las pruebas geométricas que usa al-Juarismi son objeto de controversia entre los expertos.                                                                                                                            

Continúa el Hisab al-ŷabr wa'l-muqabala examinando cómo las leyes de la aritmética se extienden a sus objetos algebraicos. Por ejemplo, muestra cómo multiplicar expresiones como . Rashed (op. cit.) encuentra sus formas de resolución extremadamente originales, pero Crossley las considera menos significativas. Gandz considera que la paternidad del álgebra es mucho más atribuible a al-Juarismi que a Diofanto.

La parte siguiente consiste en aplicaciones y ejemplos. Describe reglas para hallar el área de figuras geométricas como el círculo, y el volumen de sólidos como la esfera, el cono y la pirámide. Esta sección, ciertamente, tiene mucha mayor afinidad con los textos hebreos e indios que con cualquier obra griega. La parte final del libro se ocupa de las complejas reglas islámicas de herencia, pero requiere poco del álgebra que expuso anteriormente, más allá de la resolución de ecuaciones lineales.

 

DIOFANTO DE ALEJANDRÍA

 Vida

  Nada sabemos acerca de la patria de este matemático griego y muy poco referente a su vida. Perteneció a la escuela alejandrina, nació hacia el 250 y murió a los ochenta y cuatro años. Una dedicatoria suya a cierto Dionisio, que se ha querido identificar con el coetáneo santo del mismo nombre, obispo de París, ha inducido a creerle cristiano. 

  Por su originalidad y sus aportaciones, Diofanto fue llamado por los historiadores el padre de los algebristas modernos. En una época de decadencia y de pura exégesis, como era el siglo en que vivió, su obra constituye una notabilísima excepción. Generalmente se le atribuye la introducción del cálculo algebraico en las matemáticas. Según parece, inició el empleo sistemático de símbolos para indicar potencias, igualdades o números negativos.

  Diofanto falleció a la edad de 84 años. Se ignora, sin embargo en qué siglo vivió. Si es el mismo astrónomo Diofanto que comentó Hipatia (fallecida en 415), habría fallecido antes del siglo V, pero si se trata de personas distintas cabe pensar que vivía a finales de dicho siglo, ya que ni Proclo ni Papo le citan, lo que resulta difícil de entender tratándose de un matemático que pasa por ser el inventor del álgebra. En opinión de Albufaraga, Diofanto vivía en los tiempos del emperador Juliano, hacia 365, fecha que aceptan los historiadores.

Obras

  De la obra de Diofanto conservamos los seis primeros libros y un fragmento del séptimo de un tratado titulado Aritmética, integrado originariamente por trece. Los libros conservados contienen un tratado sobre las ecuaciones y sobre sistemas de ecuaciones determinados e indeterminados, en el que se busca, de modo sistemático, la solución en números racionales. Ha llegado también hasta nosotros un texto suyo sobre Números poligonales. Los antiguos juzgaban también suyos un libro de Porismas y un tratado acerca de las fracciones, Moriastica.

  Quizás el tratado numérico de las ecuaciones puede ser considerado en sus orígenes más como un resultado de la ciencia pitagórica que como obra de Diofanto; pero éste, con su superior habilidad en el cálculo, logró dar una colección de problemas resueltos sin recurrir a la representación geométrica constantemente empleada por Euclides, sirviéndose de artificios siempre ingeniosos, aunque la crítica moderna no sea unánime a la hora de justificar su legitimidad.

 Ecuación diofántica

Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros o los números naturales ; es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros.

 Existen dos tipos de ecuaciones diofánticas:

Ecuación diofántica lineal

La ecuación diofántica o identidad de Bézout tiene solución si y solo si d = mcd(A, B) (máximo común divisor) es un divisor de C. En ese caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones.

Ecuación pitagórica

Se llama ecuación pitagórica a la ecuación con . Cualquier terna (x, y, z) solución de la ecuación anterior se conoce como terna pitagórica. Además si (x, y, z) es una terna pitagórica solución de la ecuación pitagórica también lo serán.






  http://www.biografiasyvidas.com/biografia/d/diofanto.htm

 http://es.wikipedia.org/wiki/Diofanto_de_Alejandr%C3%ADa
 http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diof%C3%A1ntica

ARQUÍMEDES DE SIRACUSA

VIDA PERSONAL

  Los grandes progresos de las matemáticas y la astronomía del helenismo son deudores, en buena medida, de los avances científicos anteriores y del legado del saber oriental, pero también de las nuevas oportunidades que brindaba el mundo helenístico. En los inicios de la época helenística se sitúa Euclides, quien legó a la posteridad una prolífica obra de síntesis de los conocimientos de su tiempo que afortunadamente se conservó casi íntegra y se convirtió en un referente casi indispensable hasta la Edad Contemporánea.

  Pero el más célebre y prestigioso matemático fue Arquímedes (nació en 287 a.C.). Sus escritos, de los que se han conservado una decena, son prueba elocuente del carácter polifacético de su saber científico. Su padre Fidias fue astrónomo e influyó de forma notable en su educación. Pertenecía a una clase social elevada, amigo o familiar del rey Hierón II, lo que le permitió estudiar en Alejandría. En aquella época, Alejandría estaba considerada como el centro de investigación y estudio más importante del mundo conocido. Arquímedes viajó hasta esta ciudad y estudió con los discípulos de Euclides, lo cual representó una influencia importante en su forma de entender las matemáticas. El resto de su vida la pasó en Siracusa, dedicado por completo a sus trabajos e investigaciones. En aquella época, Siracusa era un asentamiento griego.

  Arquímedes murió durante el sitio de Siracusa (214–212 a. C.), cuando fue asesinado por un soldado romano, a pesar de que existían órdenes de que no se le hiciese ningún daño.

DESCUBRIMIENTOS

  Algunos de sus descubrimientos son el tornillo sin fin (o de Arquímedes) utilizado para elevar agua, la polea compuesta, el torno, la rueda dentada, el principio de la hidrostática y la ley de la palanca. Durante el asedio de los romanos a la ciudad de Siracusa, construyó máquinas de guerra basadas en palancas, catapultas y un sistema de espejos con el que incendió las naves romanas.

 Aunque todo la anterior hubiese sido suficiente para hacer de Arquímedes un personaje famoso, sus logros más importantes los consigue en el terreno de las matemáticas. Fue ésta la ciencia que más le interesó y donde consiguió alcanzar las más altas cumbres. Algunos dicen incluso que su interés por sus descubrimientos más prácticos radica en los principios matemáticos que los mantienen. Él mismo se consideró siempre como un geómetra. Sus trabajos representaron un gran avance, no sólo por los resultados conseguidos, sino por los métodos utilizados, el rigor de sus demostraciones y la solidez de su estructura lógica. Fue precursor de algunos de los descubrimientos de la matemática moderna, como por ejemplo, el uso que hizo del método de exhaución de Eudoxo para calcular áreas y volúmenes, que desembocó casi 2000 años más tarde en el cálculo integral.

LOGROS MÁS IMPORTANTES:

1) Sobre el equilibrio de los planos

2) Sobre la cuadratura de la parábola

3) El Método
4) Sobre la esfera y el cilindro

5) Sobre espirales

6) Sobre los conoides y esferoides

7) Sobre los cuerpos flotantes

8) Sobre la medida del circulo

9) El Arenario

LOS CUERPOS FLOTANTES

Estudio sobre hidrostática. Se cree que descubrió el principio de la hidrostática cuando estaba bañándose y pensando en el problema que le había propuesto el rey Hierón de Siracusa. Éste había encargado una corona de oro a un artesano y sospechaba que habían sustituido parte del oro por plata. Sumergiendo la corona en agua pudo determinar su volumen (el del agua desalojada) y conocido también su peso pudo demostrar que el artesano intentaba engañar al rey. Cuando a Arquímedes se le ocurrió la idea salió rápidamente de la bañera exclamando: ¡Eureka! ¡Eureka!

 

http://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/arquimedes.htm

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/arquimedes.htm

http://www.astromia.com/biografias/arquimedes.htm

EUCLIDES
 (330 a.C. - 275 a.C.)

Vida

   Matemático griego. Junto con Arquímedes y Apolonio de Perga, posteriores a él, Euclides fue pronto incluido en la tríada de los grandes matemáticos de la Antigüedad. Sin embargo, a la luz de la inmensa influencia que su obra ejercería a lo largo de la historia, hay que considerarlo también como uno de los más ilustres de todos los tiempos. 

 Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad. Es probable que se educara en Atenas, lo que permitiría explicar su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles.

  Fue llamado desde Alejandría, y allí fundó una escuela en la que realizó su actividad científica y enseño matemáticas durante más de 20 años. Su principal obra es "Elementos de Geometría", conocida como "Los Elementos". 

  Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.

 Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.

Obras 

Los elementos

  Una de las obras científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el centro académico.

Los 13 libros

Libro I: Teoremas relativos a congruencias, rectas paralelas. 23 definiciones; 5 postulados; 9 nociones comunes; 48 proposiciones (las p.47 y 48 son el teorema de Pitágoras)
Libro II: Aritmética de la Escuela Pitagórica. 2 definiciones; 14 proposiciones.
Libro III: Círculos, cuerdas, .... 11 definiciones; 37 proposiciones.
Libro IV: Construcciones con regla y compás. 7 definiciones; 16 proposiciones.
Libro V: Teoría de la proporción. 18 definiciones; 25 proposiciones.
Libro VI: Estudio de figuras semejantes. 4 definiciones; 33 proposiciones.
Libro VII: Teoría de números; 22 definiciones; 39 proposiciones. (la p.I es el algoritmo de Euclides).
Libro VIII: Teoría de números; 27 proposiciones.
Libro IX: Teoría de números; 36 proposiciones; (p.XX "el conjunto de números primos es infinito").
Libro X: Magnitudes; 36 proposiciones; (Se establece el método de exhaución).
Libro XI: Geometría de sólidos y esfera; 39 proposiciones.
Libro XII: Geometría de sólidos y esfera; 18 proposiciones.
Libro XIII: Geometría de sólidos y esfera; 18 proposiciones. 

V postulado de Euclides 

El postulado de las paralelas o quinto postulado de Euclides es el postulado número cinco del libro Los Elementos.

Formulaciones equivalentes al V postulado

1. La suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos.
   
2. Las rectas paralelas son equidistantes.
3. Por un punto exterior a una recta dada sólo cabe trazar una paralela. Esta formulación es la más conocida y es debida al matemático griego Proclo.
4. Dos rectas paralelas guardan entre sí una distancia finita.
5. Las rectas no equidistantes convergen en una dirección y divergen en la opuesta.
6. Todos los puntos equidistantes de una línea recta, situados a un lado determinado de ella, constituyen una línea recta.
7. Sobre una recta finita siempre se puede construir un triángulo semejante a un triángulo dado.
8. Existe un par de triángulos no congruentes, pero semejantes.
9. En todo cuadrilátero que contenga tres ángulos rectos, el cuarto ángulo también es recto.
10. Se puede construir un triángulo cuya área sea mayor que cualquier área dada.
11. Dados tres puntos no alineados, siempre será posible construir un círculo que pase por todos ellos.
12. No hay patrón métrico absoluto de longitud.

 http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/euclides.htm
 http://es.wikipedia.org/wiki/Euclides
 http://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/euclides.htm
 http://es.wikipedia.org/wiki/Quinto_postulado_de_Euclides

PITÁGORAS

(ca. 569 a. C. – ca. 475 a. C.)

Vida

Pitágoras nació en la isla de Samos (Grecia), en el 570 a. C. y murió en Metaponto en el 469 a. C., hijo de Mnesarco. Fue discípulo de Tales  y de Fenecidas de Siria, estudió en la escuela de Mileto. Viajó por Oriente Medio (Egipto y Babilonia). Sufrió el exilio para escapar de la tiranía del dictador Samio Polícrates, por lo que vagabundeó hasta establecerse  en el 531 a. C. en las colonias italianas de Grecia donde fundó su famosa escuela pitagórica en Crotona al sur de Italia. Se cree que inventó (si no él sus discípulos), las tablas de multiplicar y que fue el primero en demostrar el conocido Teorema de Pitágoras sobre la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, aunque ya los egipcios y los babilonios lo usaban en sus cálculos, construcciones, etc..., pero sin haberlo demostrado.

 En Crotona, fundó una escuela filosófica y religiosa que rápidamente cobró notoriedad y atrajo numerosos seguidores. Pitágoras fue la cabeza de esta sociedad dentro de un restringido círculo de adeptos conocidos como matematikoi. Según algunos relatos, se casó con Téano, de Crotona, y tuvieron una hija -Damo- y un hijo -Telauges-; otros dicen que fueron dos hijas -Damo y Myia-; otros dan noticia de que ya tenía esposa e hija cuando llegó a Italia.

Los datos verificables sobre la vida de Pitágoras son escasos dado que no existen textos de su autoría ni biografías firmadas por contemporáneos.
Los primeros escritos detallados, que datan de entre 150 y 250 años después de su muerte, se basan en historias transmitidas de manera oral y muestran grandes diferencias entre sí. Asimismo, muchos mitos y leyendas se forjaron en torno a su persona, motivados probablemente por el mismo Pitágoras, pero también debido a la naturaleza de la doctrina pitagórica y sus seguidores: una confraternidad hermética, regida por símbolos místicos y costumbres esotéricas.

Logros matemáticos 

El Teorema de Pitágoras
Se atribuye a la escuela pitagórica la demostración del Teorema de Pitágoras. Ya los babilonios y los egipcios, usaban con una eficacia asombrosa, la relación establecida en el Teorema de Pitágoras para resolver problemas prácticos, pero no conocían la demostración.

Los números racionales
Como consecuencia del Teorema de Pitágoras, también se les considera descubridores de los números irracionales. Estos números contradecían la doctrina básica de la escuela: habían descubierto que existían números "inexpresables",  como  , que no eran ni enteros ni fraccionarios.
 
Clasificación de los números
La obsesión por los números y la adoración que les profesaban, condujeron a los pitagóricos a un estudio minucioso de los números. Establecieron diversas clasificaciones, entre otras la distinción entre pares e impares tal y como lo hacemos hoy:.
 
-Números triangulares. Son números naturales que se pueden expresar en forma de triángulo.

-Números cuadrados. De igual forma que los anteriores, son números que se pueden expresar en forma de cuadrados.
-Números perfectos. Son los números que son iguales a la suma de todos sus divisores excepto él mismo, por ejemplo, el 6 es un número perfecto puesto que 6=1+2+3.
 

Los sólidos cósmicos 
Sólo existen cinco poliedros regulares, que los pitagóricos veneraban y que llamaban sólidos cósmicos aunque fue Euclides el que demostró que no hay más poliedros regulares. Estas cinco figuras geométricas fueron admiradas, entre otros,  por Platón que pensó que representaban los elementos fundamentales que constituían el mundo: AIRE (Octaedro), AGUA (Icosaedro), FUEGO (Tetraedro), TIERRA (Cubo) y COSMOS (Dodecaedro).

 
                    Teorema de Pitágoras




  El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
                                                     (los dos lados menores del triángulo, los
                                                     que conforman  el ángulo recto).

TALES DE MILETO  

(625/4 a.C - 547/6 a.C)

Vida personal

Tales fue un filósofo y científico griego. Nació y murió en Mileto, ciudad griega que hoy se encontraría en Turquía. En la antigüedad se le consideraba uno de los Siete Sabios de Grecia. Se le atribuyen grandes aportaciones a la filosofía, a las matemáticas, a la física, a la astronomía, etc.

 Tales es a menudo considerado el iniciador de la especulación científica y filosófica griega y occidental, aunque su figura y aportaciones están rodeadas de grandes incertidumbres.

 Residió en Mileto, y que fue allí donde desarrolló su filosofía, sus investigaciones científicas y sus intervenciones políticas. Fue hijo de Euxamias (o Examio) y de Cleobulinas (o Cleóbula).

 Entre las anécdotas que de Tales se cuentan, que logró desviar el río Halys para que fuera cruzado por el ejército de Creso (Heródoto mismo descree de esto, pero modernos especialistas no descartan por completo su veracidad). Quizás la anécdota más conocida de Tales es aquella que nos refiere Heródoto: que predijo a los jonios el año en que sucedería un eclipse solar (lo que desde 2005 se sabe que fue por el conocimiento de un ciclo de eclipses babilónico), hacia el año 585 a. C. El eclipse ocurrió, en efecto, en medio de una batalla, lo que llevó a los contendientes a detenerse y a avanzar un acuerdo de paz, por temor de que el evento fuera una advertencia divina. También es muy conocido lo que cuenta Platón: que, al caer Tales en un pozo mientras miraba el movimiento de las estrellas, una campesina tracia se reía mientras el filósofo se excusaba diciendo "que tenía ansias de conocer las cosas del cielo pero que lo que estaba... justo a sus pies se le escapaba".

Logros matemáticos

Se le atribuyen cinco teoremas geométricos y la resolución de dos problemas prácticos; unos y otros se enuncian y comentan a continuación.

 1) Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.
Este teorema, junto a los tres siguientes, aparece en el Comentario de Proclo.

 2) Los ángulos de la base de todo triángulo isósceles son iguales.

 3) Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas son iguales

 4) Si dos triángulos tienen un lado y los dos ángulos adyacentes respectivamente iguales, entonces los triángulos son iguales.

 5) Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. 

 6) Determinación de la altura de la pirámide de Keops.

 
 7) Cálculo de la distancia de una nave a la costa.

Teorema de Tales

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.